Question

11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2$\sqrt{3}$，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b=2或4．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用正弦定理可求sinC，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB，进而利用余弦定理即可计算求值得解．

解答 解：∵cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，π），
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵a=2，c=2$\sqrt{3}$，
∴利用正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：cosC=±$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=±$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×$（$±\frac{1}{2}$）=0，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4+12-2×2×2$\sqrt{3}$×cosB=16，或4．
∴b=2或4．
故答案为：2或4．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．