Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（2，0），点P（1，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为-1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F₁M|=|F₁N|（F₁为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的右焦点为F₂（2，0），点P（1，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）在椭圆C上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）假设存在斜率为-1直线l：y=-x+m与椭圆C相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，使得|F₁M|=|F₁N|，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得：4x²-6mx+3m²-6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式，结合已知条件推导出不存在斜率为-1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F₁M|=|F₁N|．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（2，0），点P（1，-$\frac{\sqrt{15}}{3}$）在椭圆C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{15}{9{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）不存在斜率为-1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F₁M|=|F₁N|．
理由如下：
假设存在斜率为-1直线l：y=-x+m与椭圆C相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，使得|F₁M|=|F₁N|，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消除y，得：4x²-6mx+3m²-6=0，
△=36m²-16（3m²-6）＞0，解得-2$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，（*）
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3m}{2}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-6}{4}$，${y}_{1}+{y}_{2}=2m-（{x}_{1}+{x}_{2}）=2m-\frac{3m}{2}=\frac{m}{2}$，
∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F₁（-2，0），|F₁M|=|F₁N|，
∴$\sqrt{（{{x}_{1}}^{\;}+2）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=\sqrt{（{{x}_{2}+2）}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$，
整理，得（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{3m+8}{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{m}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）=0$，
∴直线l：y=-x+m的斜率：-1=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{\frac{3m+8}{2}}{-\frac{m}{2}}$=-$\frac{3m+8}{m}$，
解得m=-4，不满足（*）式，
∴不存在斜率为-1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F₁M|=|F₁N|．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、两点间距离公式、直线斜率公式的合理运用．