Question

12．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-4+t\\ y=t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ-2=0，直线l与圆C相交于点A、B．
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）求出直线l的普通方程，C到l的距离，利用勾股定理，可得线段AB的长度．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ-2=0，化为直角坐标方程为x²+y²-4y-2=0…（4分）
（2）直线l的普通方程为x-y+4=0…（6分）
又圆心C（0，2），半径$r=\sqrt{6}$，∴C到l的距离为$\frac{|2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴AB=$2\sqrt{6-2}$=4．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．