Question

设有关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b=2，求上述方程没有实根的概率．

Answer 1

由题意知本题是一个古典概型，
设事件A为“方程x²-2ax+b²=0无实根”
当a＞0，b＞0时，方程x²-2ax+b²=0无实根的充要条件为
△=4a²-4b²=4（a²-b²）＜0，即a＜b
（1）基本事件共12个：（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），
（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2）（1，2），
∴事件A发生的概率为P（A）=

3

12

=

1

4

．
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的所有基本事件所构成的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，
其中构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2，a＜b}
∴所求概率为P（B）=

2

3

．