Question

10．已知函数$f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜\frac{π}{2}）$部分图象如图所示．
（Ⅰ）求φ值及图中x₀的值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$c=\sqrt{7}$，f（C）=-2，sinB=2sinA，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象可知f（0）=1，可求$sinφ=\frac{1}{2}$，结合范围$|φ|＜\frac{π}{2}$，可求$φ=\frac{π}{6}$，由f（x₀）=2，得$2{x_0}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，结合图象可求${x_0}=\frac{7π}{6}$．
（Ⅱ）由f（C）=-2，得$sin（2C+\frac{π}{6}）=-1$，结合范围C∈（0，π），解得$C=\frac{2π}{3}$，由正弦定理得b=2a，由余弦定理即可解得a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）解：由图象可知f（0）=1，
所以$sinφ=\frac{1}{2}$，
又因为$|φ|＜\frac{π}{2}$，
所以$φ=\frac{π}{6}$．…（3分）
因为f（x₀）=2，所以$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）=1$，解得$2{x_0}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$．
从而${x_0}=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．由图象可知k=1，
所以${x_0}=\frac{7π}{6}$；…（6分）
（Ⅱ）由f（C）=-2，得$sin（2C+\frac{π}{6}）=-1$，且C∈（0，π），解得$C=\frac{2π}{3}$．…（8分）
因为sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a．…（10分）
又由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，及$c=\sqrt{7}$和$C=\frac{2π}{3}$，可解得a=1．…（12分）

点评 本题主要考查了本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．