Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边长是a，b，c公差为1的等差数列，且C=2A．
（Ⅰ）求a，b，c；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a=b-1，c=b+1，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，结合正弦定理即可求a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的边长，利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA求sinA，即可求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由已知得a=b-1，c=b+1，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
整理得：b+4=2（b+1）cosA …①
由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA
由正弦定理得c=2acosA，即cosA=$\frac{c}{2a}=\frac{b+1}{2（b-1）}$…②
由①②整理得：b=5，
∴a=4，c=6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cosA=$\frac{c}{2a}=\frac{b+1}{2（b-1）}$=$\frac{3}{4}$
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故得△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的性质、正余弦定理的灵活运用能力，属于基础题．