Question

9．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　）

• A． $f（{\frac{1}{k}}）＜\frac{1}{k}$
• B． $f（{\frac{1}{k}}）＞\frac{1}{k-1}$
• C． $f（{\frac{1}{k-1}}）＜\frac{1}{k-1}$
• D． $f（{\frac{1}{k-1}}）＞\frac{k}{k-1}$

Answer 1

分析 根据导数的概念得出$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，用x=$\frac{1}{k-1}$代入可判断出f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，即可判断答案．

解答 解；∵f′（0）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$
f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，
当x=$\frac{1}{k-1}$时，f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$×k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）$＞\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$
故f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，
所以f（$\frac{1}{k-1}$）＜$\frac{1}{k-1}$，一定出错，
另解：设g（x）=f（x）-kx+1，
g（0）=0，且g′（x）=f′（x）-k＞0，
g（x）在R上递增，
k＞1，对选项一一判断，可得C错．
故选：C．

点评 本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．