Question

4．（1）已知a，b为正整数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{y}$与$\frac{（a+b）^2}{x+y}$的大小，并指出两式相等的条件．
（2）用（1）所得结论，求函数y=$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）展开（x+y）（$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{y}$）=a²+b²+$\frac{y{a}^{2}}{x}$+$\frac{x{b}^{2}}{y}$，再由基本不等式可得$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{y}$与$\frac{（a+b）^2}{x+y}$的大小和等号成立的条件；
（2）将函数y=$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）化为y=$\frac{9}{3x}$+$\frac{4}{1-3x}$，即可运用第一题的结论，求得最小值．

解答 解：（1）a，b为正整数，a≠b，x＞0，y＞0，
可得（x+y）（$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{y}$）=a²+b²+$\frac{y{a}^{2}}{x}$+$\frac{x{b}^{2}}{y}$
≥a²+b²+2$\sqrt{\frac{y{a}^{2}}{x}•\frac{x{b}^{2}}{y}}$=a²+b²+2ab=（a+b）²，
即有$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{y}$≥$\frac{（a+b）^2}{x+y}$，当且仅当ay=bx时取得等号；
（2）函数y=$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）
即为y=$\frac{9}{3x}$+$\frac{4}{1-3x}$，
由（1）可得$\frac{9}{3x}$+$\frac{4}{1-3x}$≥$\frac{（3+2）^{2}}{3x+1-3x}$=25．
当且仅当6x=3（1-3x），即x=$\frac{1}{5}$时，取得最小值25．

点评 本题考查不等式的大小和函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．