Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$是奇函数，且f（2）=5．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由函数的奇偶性的性质可得$\frac{{a{（-x）^2}+2}}{（-x）+b}$=-$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$，分析可得b=0，又由f（2）=5，则有$\frac{4a+2}{2}$=5，解可得a=2，将a、b的值代入可得f（x）的解析式；
（2）根据题意，设任意的实数x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，用作差法计算可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）[$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$]，由x₁与x₂的范围分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即可得f（x₁）＞f（x₂），由函数的单调性的性质分析f（x）的单调性．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即有$\frac{{a{（-x）^2}+2}}{（-x）+b}$=-$\frac{{a{x^2}+2}}{x+b}$，
即b=0，
又由f（2）=5，则有$\frac{4a+2}{2}$=5，解可得a=2，
故f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{x}$，
（2）根据题意，设任意的实数x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）[$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$]，
又由0＜x₁＜x₂＜1，
则x₁-x₂＜0，x₁•x₂＜1，
故f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）[$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$]＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（0，1）上是减函数．

点评 本题考查函数奇偶性的性质以及函数单调性的判定，关键是充分利用函数的奇偶性的性质分析得到a、b的值．