Question

18．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$）在x∈（0，7π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y_max=3；当x=6π，y_min=-3．
（1）求出此函数的解析式；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+4}$+φ）？若存在，求出m的范围（或值），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据当x=π时，y_max=3；当x=6π，y_min=-3．周期T=10π，A=3，点（π，3）在此函数图象上，带入求φ
的值，即可得到解析式．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．
（3）根据被开方数≥0求出m的范围，在求出$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$和$\sqrt{-{m}^{2}+4}$的范围，利用三角函数的单调性即可求m的范围．

解答 解（1）由题意，在x∈（0，7π）内只取到一个最大值和一个最小值得．
当x=π时，y_max=3；当x=6π，y_min=-3
∴A=3，$\frac{1}{2}$T=5π
解得：T=10π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{5}$．
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+φ），
由于点（π，3）在此函数图象上，则有3sin（$\frac{π}{5}$+φ）=3，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{5}$=$\frac{3π}{10}$．
∴函数的解析式y=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．
（2）由（1）可得：解析式y=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时，即10kπ-4π≤x≤10kπ+π时，原函数单调递增．
∴函数y的单调递增区间为[10kπ-4π，10kπ+π]（k∈Z）
（3）由题意：m满足$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m+3≥0}\\{-{m}^{2}+4≥0}\end{array}\right.$
解得：-1≤m≤2．
∵-m²+2m+3=-（m-1）²+4≤4，
∴0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}≤$2．
同理：-1≤m≤2．
∴0$\sqrt{-{m}^{2}+4}≤$2．
由（2）知函数在[-4π，π]上递增，若有：Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+4}$+φ）
只需要：$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}＞\sqrt{-{m}^{2}+4}$成立即可，
解得：m＞$\frac{1}{2}$．
所以存在m∈（$\frac{1}{2}$，2]，使：Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+4}$+φ）成立．

点评 本题考查了三角函数的解析式的求法，函数图象及性质的运用能力和理解．综合性强，计算量大．属于中档题．