Question

19．如图，平行四边形ABCD中，BD=2$\sqrt{3}$，AB=2，AD=4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（I）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直，证明线面垂直转化为线线垂直．证明AB⊥BD，在证明AB⊥平面EBD，可得AB⊥DE
（Ⅱ）三棱锥E-ABD的侧面积等于三面之和，由（1）可得ED⊥平面ABCD，可求三个面的面积．

解答 解：（Ⅰ）证明：由题意：AB=2，BD=2$\sqrt{3}$，AD=4，
∵AB²+BD²=AD²
∴AB⊥BD；
∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，
∴AB⊥平面EBD．
∵DE⊆平面EBD，
∴AB⊥DE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥BD，
∵CD∥AB，
∴CD⊥BD，从而DE⊥BD．
在三角形DBE中，∵DB=$2\sqrt{3}$，DE=CD=AB=2．
∴${S}_{△BED}=\frac{1}{2}•BD•DE=2\sqrt{3}$
又∵AB⊥平面EBD，EB?平面EBD，
∴AB⊥BE．
∵BE=BC=AD=4，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}•AB•BE=4$．
又∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，
∴DE⊥平面ABD，
而DE?平面ABD，DE⊥AD．
∴${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•DE=4$
综上，三个面之和为三棱锥E-ABD的侧面积，即为8+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了面面垂直转化为线面垂直来证明线线垂直．以及侧面积的计算．属于基础题．