Question

9．已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x²+y²+2x-4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．

Answer 1

分析 设出所求圆的方程为x²+y²+2x-4y+λ（2x+y+4=0）=0，找出此时圆心坐标，当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入2x+y+4=0中，得到关于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，进而确定出所求圆的方程．

解答 解：可设圆的方程为x²+y²+2x-4y+λ（2x+y+4）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ=0，
此时圆心坐标为（-1-λ，$\frac{4-λ}{2}$），
显然当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，
∴2（-1-λ）+$\frac{4-λ}{2}$+4=0，
解得：λ=$\frac{8}{5}$，
则所求圆的方程为：x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．
故答案为：x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，根据题意设出所求圆的方程，找出圆心坐标，得出圆心在直线2x+y+4=0上时面积最小是解本题的关键．