Question

20．设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+2x}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围；
（3）用定义讨论并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+2x}$是奇函数等价于：对任意的x∈（-b，b），都有f（-x）=-f（x），即（a²-4）x²=0对任意x∈（-b，b）恒成立，解得a的值；
（2）解$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0得：x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．则有（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）⊆（-b，b），解得b的取值范围；
（3）任取x₁，x₂∈（-b，b），令x₁＜x₂，判断f（x₁），f（x₂）的大小，根据定义，可得答案．

解答 （本题满分12分）
解：（1）函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+2x}$是奇函数等价于：
对任意的x∈（-b，b），都有f（-x）=-f（x），
即$\frac{1-ax}{1-2x}$=$\frac{1+2x}{1+ax}$，
即（a²-4）x²=0对任意x∈（-b，b）恒成立，
∴a²-4=0
又a≠2，
∴a=-2
（2）由（1）得：$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0对任意x∈（-b，b）恒成立，
解$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0得：x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
则有（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）⊆（-b，b），
解得：b∈（0，$\frac{1}{2}$]]
（3）任取x₁，x₂∈（-b，b），令x₁＜x₂，
则x₁，x₂∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴1-2x₁＞1-2x₂＞0，
1+2x₂＞1+2x₁＞0，
即（1+2x₂）（1-2x₁）＞（1-2x₂）（1+2x₁）＞0，
即$\frac{（1-2{x}_{1}）（1+2{x}_{2}）}{（1+2{x}_{1}）（1-2{x}_{2}）}$＞1，
f（x₁）-f（x₂）=$lg\frac{1-2{x}_{1}}{1+2{x}_{1}}$-$lg\frac{1-2{x}_{2}}{1+2{x}_{2}}$=$lg\frac{（1-2{x}_{1}）（1+2{x}_{2}）}{（1+2{x}_{1}）（1-2{x}_{2}）}$＞0，
则f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-b，b）内是单调减函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，恒成立问题，对数函数的图象和性质，难度中档．