Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

Answer 1

分析：（1）把x=-1代入解析式列出一个方程，再由函数的值域和二次函数的性质得△=0得一个方程，联立方程求解；
（2）由（1）和条件求出g（x）的解析式，再求出对称轴，根据题意和和二次函数的单调性，列出不等式求解；
（3）由二次函数是偶函数的条件得b=0，代入F（x），再由条件判断出n＜0＜m，表示出F（m）+F（n）化简后判断符号．

解答：解：（1）依题意，有

a-b+1=0 △=b2-4a=0

，
解得

a=1 b=2

，∴f（x）=x²+2x+1，
∴F(x)=

x2+2x+1，(x＞0) -x2-2x-1，(x＜0).

（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x²+2x+1+kx=x²+（k+2）x+1，
∴函数g（x）的对称轴x=-

k+2

2

，
∵g（x）在区间[-1，1]上是单调函数，
∴-

k+2

2

≤-1，或-

k+2

2

≥1．
解得    k≥0，或k≤-4．
∴实数k的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞），
（3）∵f（x）=ax²+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax²+1（a＞0），
∴F(x)=

ax2+1，(x＞0) -ax2-1，(x＜0).

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，则有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．

点评：本题考查了求二次函数解析式，二次函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．