Question

设函数f_n（x）=x-（n²+2n）x²（其中n∈N^*），区间I_n={x|f_n（x）＞0}．
（Ⅰ）求区间I_n的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）；
（Ⅱ）把区间I_n的长度记作数列{a_n}，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，证明：

1

3

≤S_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据I_n={x|f_n（x）＞0}，解不等式，即可求区间I_n的长度（注：区间（α，β）的长度定义为β-α）；
（Ⅱ）利用裂项法求和，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由f_n（x）＞0，得x-（n²+2n）x²＞0，解得0＜x＜

1

n2+2n

，…（3分）
即In=(0，

1

n2+2n

)，所以区间I_n的长度为

1

n2+2n

-0=

1

n2+2n

；        …（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知an=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，…（7分）
则Sn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)…（10分）
因为n∈N^*，故Sn＜

3

4

，…（11分）
又易知Sn=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)单增，故Sn≥S1=

3

4

-

1

2

(

1

1+1

+

1

1+2

)=

1

3

，
综上

1

3

≤Sn＜

3

4

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．