【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,函数
在
上的最小值为
,若不等式
有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2)
【解析】
(1)求出导函数,然后根据的符号进行分类讨论,并借助解不等式组的方法得到单调区间;(2)根据(1)中的结论求出当
时,函数
在
上的最小值
,因此问题转化为
有解,即
有解
,构造函数
,求出函数
的最小值即可得到所求.
(1)由,
得,
①当时,
令,得
,
所以,或
,即
或
,
解得或
.
令,得
,
所以或
,即
或
,
解得或
.
所以函数的单调递增区间为
,
;单调递减区间为
.
②当时,
令,得
,由①可知
;
令,得
,由①可知
或
.
所以函数的单调递增区间为
;单调递减区间为
,
.
综上可得,
当时,
的单调递增区间为
,
;单调递减区间为
.
当时,
的单调递增区间为
;单调递减区间为
,
.
(2)由(1)可知若,则当
时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
所以不等式有解等价于
有解,
即有解
,
设,则
,
所以当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以的极小值也是最小值,且最小值为
,
从而,
所以实数的取值范围为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,设为不同的两点,直线
的方程为
,设
,其中
均为实数.下列四个说法中:
①存在实数,使点
在直线
上;
②若,则过
两点的直线与直线
重合;
③若,则直线
经过线段
的中点;
④若,则点
在直线
的同侧,且直线
与线段
的延长线相交.
所有结论正确的说法的序号是______________.
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【题目】已知某运动员每次投篮命中的概率低于,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆
:
,直线
:
,直线
过点
,倾斜角为
,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线与圆
的交点极坐标及直线
的参数方程;
(2)设直线与圆
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______.
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【题目】以椭圆的中心O为圆心,以
为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆C及其“伴随”的方程;
(2)过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A,B两点,记
为坐标原点)的面积为
,将
表示为m的函数,并求
的最大值.
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