Question

20．在直角坐标系xOy中，曲线${C_1}：{（{x-1}）^2}+{y^2}=1$，曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．
（1）求C₁，C₂的极坐标方程；
（2）射线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（{x≥0}）$与C₁的异于原点的交点为A，与C₂的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入曲线C₁方程可得曲线C₁的极坐标方程．曲线C₂的普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入，得到C₂的极坐标方程．
（2）射线的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$，与曲线C₁的交点的极径为ρ₁，射线$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$与曲线C₂的交点的极径满足${ρ^2}（{1+{{sin}^2}\frac{π}{6}}）=2$，解得ρ₂．可得|AB|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（1）将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入曲线C₁方程：（x-1）²+y²=1，
可得曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，
曲线C₂的普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入，
得到C₂的极坐标方程为ρ²（1+sin²θ）=2．
（2）射线的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$，与曲线C₁的交点的极径为${ρ_1}=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，
射线$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$与曲线C₂的交点的极径满足${ρ^2}（{1+{{sin}^2}\frac{π}{6}}）=2$，解得${ρ_2}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
所以$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}-\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程与普通方程的互化及其应用、曲线的交点、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．