Question

【题目】已知A（x0 ， 0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足 ．
（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（2）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（3）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2 ， 使△ABE的面积为 ？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，

即 ，

所以 ，

所以

又因为|AB|=1，所以 ，

即： ，

即 ，

所以椭圆的标准方程为 ．

（2）解：直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程 ，

得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，

由△＞0，得 （*），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则 （1）

以PQ直径的圆恰过原点，

所以OP⊥OQ， ，

即x1x2+y1y2=0，

也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，

即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，

将（1）式代入，得 ﹣ +4=0，

即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，

解得 ，满足（*）式，

所以 ．

所以直线方程为y=± x+2

（3）解：由方程组 ，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

所以 ，

因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），

所以S△ABE= |EF||y1﹣y2|= ×2× =

令= =2 ，则 不成立

故不存在直线l满足题意

【解析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程为 ．（2）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决．（3）根据直线和椭圆额位置关系，以及三角形的面积公式得到S△ABE= ，令= =2 ，则 不成立，问题得以解决．