Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且，令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∵f（0）=0可得c=0而函数对于任意x∈R都有，可得函数f（x）的对称轴从而可得a=b
结合f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0对于任意x∈R都成立，可转化为二次函数的图象可得a＞0，且△=（b-1）²≤0．
（2）由（1）可得g（x）=f（x）-|λx-1|=
根据函数g（x）需讨论：
①当时，函数g（x）=x²+（1-λ）x+1的对称轴为，
则要比较对称轴与区间端点的大小，为此产生讨论：，与分别求单调区间
②当时，函数g（x）=x²+（1+λ）x-1的对称轴为，
同①的讨论思路
（3）结合（2）中的单调区间及零点存在定理进行判断函数g（x）的零点
解答：（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．（1分）
∵对于任意x∈R都有，
∴函数f（x）的对称轴为，即，得a=b．（2分）
又f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0对于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b-1）²≤0．
∵（b-1）²≥0，∴b=1，a=1．
∴f（x）=x²+x．（4分）
（2）解：g（x）=f（x）-|λx-1|=（5分）
①当时，函数g（x）=x²+（1-λ）x+1的对称轴为，
若，即0＜λ≤2，函数g（x）在上单调递增；（6分）
若，即λ＞2，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．
（7分）
②当时，函数g（x）=x²+（1+λ）x-1的对称轴为，
则函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．（8分）
综上所述，当0＜λ≤2时，函数g（x）单调递增区间为，单调递减区间为；（9分）
当λ＞2时，函数g（x）单调递增区间为和，单调递减区间为和．（10分）
（3）解：①当0＜λ≤2时，由（2）知函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=2-|λ-1|＞0，
故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．（11分）
②当λ＞2时，则，而g（0）=-1＜0，，g（1）=2-|λ-1|，
（ⅰ）若2＜λ≤3，由于，
且=，
此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；（12分）
（ⅱ）若λ＞3，由于且g（1）=2-|λ-1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1）
上有两个不同的零点．（13分）
综上所述，当0＜λ≤3时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；
当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．（14分）
点评：本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．