Question

2．已知数列{a_n}中a₁=3，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}$．
（1）求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）利用（1）的结论归纳出它的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）分别根据递推公式代值计算即可，
（2）由（1）猜想出结论，并根据数学归纳法证明即可，

解答 解：（1）a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{3}{7}$，a₄=$\frac{3}{10}$，
（2）猜测：a_n=$\frac{3}{3n-2}$
证明如下：
1．当n=1时显然成立，
2．设n=k时成立即a_k=$\frac{3}{3k-2}$，
则当n=k+1时有a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{3}{3k-2}}{\frac{3}{3k-2}+1}$=$\frac{3}{3k+1}$=$\frac{3}{3（k+1）-2}$，
所以成立由1，2可知n∈一切自然数均成立，所以猜测正确．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．