Question

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA-$\frac{2}{cosC+sinC}$=0，则$\frac{a+c}{b}$的值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 在△ABC中，cosA+sinA-$\frac{2}{cosC+sinC}$=0，展开利用和差公式可得cos（A-C）+sin（A+C）=2，因此只有cos（A-C）=sin（A+C）=1，求出角，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：∵在△ABC中，cosA+sinA-$\frac{2}{cosC+sinC}$=0，
∴（cosA+sinA）（cosC+sinC）=2，
展开可得cosAcosC+sinCcosA+sinAcosC+sinAsinC=2，
即cos（A-C）+sin（A+C）=2，
又cos（A-C）≤1且sin（A+C）≤1，
故只有cos（A-C）=sin（A+C）=1，
∴A-C=0，A+C=$\frac{π}{2}$，∴A=C=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{a+c}{b}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{sin\frac{π}{4}+sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{2}}$=$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．