Question

3．已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若0＜a＜3，当x∈[0，1]时，试确定当|f'（x）|≤1时a，b满足的条件；
（Ⅱ）若a=2时，函数f（x）的图象与直线y=1恰有三个不同的公共点，试确定b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由x∈[0，1]时，f'（x）=-3x²+2ax．由|f'（x）|≤1，可得-1≤-3x²+2ax≤1．记g（x）=-3x²+2ax，x∈[0，1]，|g（x）|≤1，利用二次函数的单调性即可得出．
（II）若a=2，则f（x）=-x³+2x²+b，f'（x）=-3x²+4x，令f'（x）=x（-3x+4）=0，解得x，利用导数研究其单调性极值与最值，函数图象的交点转化为求函数的值域．

解答 解：（I）∵x∈[0，1]时，f'（x）=-3x²+2ax．
∵|f'（x）|≤1，
∴-1≤-3x²+2ax≤1．
记g（x）=-3x²+2ax，x∈[0，1]，|g（x）|≤1，
∵0＜a＜3，
则$\left\{{\begin{array}{l}{|{g（1）}|=|{2a-3}|≤1}\\{0＜\frac{a}{3}＜1}\\{|{g（\frac{a}{3}）}|=\frac{a^2}{3}≤1}\end{array}}\right.$，
解之，得$\left\{{\begin{array}{l}{1≤a≤2}\\{0≤a≤\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，即$1≤a≤\sqrt{3}$，
即当x∈[0，1]，|f'（x）|≤1时，a∈$[1，\sqrt{3}]$，b∈R．
（II）若a=2，则f（x）=-x³+2x²+b，f'（x）=-3x²+4x，
令f'（x）=x（-3x+4）=0，则x=0或$\frac{4}{3}$，
∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当$0＜x＜\frac{4}{3}$时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当$x＞\frac{4}{3}$时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．
∴f（x）的极大值、极小值分别为$f（\frac{4}{3}）$、f（0），
∴当且仅当$f（\frac{4}{3}）＞1$且f（0）＜1时，函数f（x）的图象与直线y=1恰有三个不同的公共点，
由$f（\frac{4}{3}）＞1$且f（0）＜1，解得$b＞-\frac{5}{27}$且b＜1，
综上$b∈（-\frac{5}{27}，1）$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数图象的交点转化为求函数的值域、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．