Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列
（1）若b=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面积；
（2）若a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质与三角形内角和定理可得B，再利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．
（2）利用等比数列的性质、余弦定理即可得出a=c，又B=$\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π．
得B=$\frac{π}{3}$，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴${（2\sqrt{3}）^2}={a^2}+4-4acos\frac{π}{3}$，解得a=4或a=-2（舍去）
∴${s_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×4×2sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$．
（2）由a，b，c成等比数列，有b²=ac，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0
因此a=c，又B=$\frac{π}{3}$
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、等差数列与等比数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．