Question

18．已知函数y=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}}$）
（1）求它的最小正周期
（2）求它的最大最小值及对应的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根据两角和差的正余弦公式及辅助角公式将函数化简求得y=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），根据周期公式即可求得最小正周期；
（2）根据正弦函数的性质及三角函数的取值范围，求出最值，以及自变量的取值集合．

解答 解：（1）y=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}}$）
=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}}$+sin4xsin$\frac{π}{6}}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x，
=sin4x+$\sqrt{3}$cos4x，
=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
由T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴最小正周期$\frac{π}{2}$；
（2）当4x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数取最大值，最大值为2，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$时，取最大值为2，
当4x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z时，函数取最小值，最小值为-2，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{24}$时，取最小值为-2．
∴{x丨x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z}时，函数取最大值为2，{x丨x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{7π}{24}$，k∈Z}，函数取最小值为-2．

点评 本题考查三角恒等变换，考查两角和差的正余弦公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数图象及性质，属于中档题．