Question

11．设二次函数f（x）=ax²+bx．
（1）若1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围；
（2）当b=1时，若对任意x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用f（-1），f（1）表示出f（-2），利用不等式的性质得出f（-2）的范围；
（2）对a进行讨论，判断f（x）的单调性，求出f（x）的最大值和最小值，令最值在区间[-1，1]上即可．

解答 解：（1）∵f（-1）=a-b，f（1）=a+b，f（-2）=4a-2b，
∴f（-2）=3f（-1）+f（1），
∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（-1）+f（1）≤10，即-5≤f（-2）≤10．
（2）b=1时，$f（x）=a{x^2}+x=a{（x+\frac{1}{2a}）^2}-\frac{1}{4a}$，∴f（x）图象的对称轴为$x=-\frac{1}{2a}$，
①若a＞0，则函数f（x）=ax²+x在x∈[0，1]时为增函数，
∴f_min（x）=f（0）=0，f_max（x）=f（1）=a+1，
∵对任意x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，
∴a+1≤1，即a≤0，此与a＞0矛盾，舍去． 
②当a＜0时，
（i）当$-\frac{1}{2a}≥1$即$-\frac{1}{2}≤a＜0$时，f（x）=ax²+x在x∈[0，1]上为增函数，
∴f_min（x）=f（0）=0，f_max（x）=f（1）=a+1，
∵对任意x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，
∴a+1≤1，即a≤0，又$-\frac{1}{2}≤a＜0$，∴-$\frac{1}{2}$＜a＜0．
（ii）当$-\frac{1}{2a}＜1$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，-$\frac{1}{2a}$]上是增函数，在[-$\frac{1}{2a}$，1]上是减函数，
∵对任意x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，
又f（0）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4a}≤1}\\{a+1≥-1}\end{array}\right.$，解得$-2≤a＜-\frac{1}{2}$； 
综上，a的取值范围为[-2，0）．

点评 本题考查了不等式的性质，二次函数的性质，属于中档题．