Question

8．已知函数f（x）=lnx-ax²+ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，0）∪{1}

Answer 1

分析 函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有两解．即两个函数有两个交点．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有两解．
设$g（x）=\frac{lnx}{x}$，则g'（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，且g（1）=0，当x＞e时，g（x）＞0，g'（1）=1，
作出函数y=g（x）与函数y=a（x-1）的图象如下图所示，
由图可知，函数y=g（x）的图象与函数y=a（x-1）的图象恰有2个交点的充要条件为0＜a＜1或a＞1，
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．