Question

13．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，且AA₁=AB=BC=2．M、N分别为A₁B、B₁C₁中点．
（1）求三棱锥A₁-MNC的体积．
（2）求证：AB⊥BC
（3）（文科做）求AC与平面A₁BC所成角的大小．
（理科做）求锐二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁，由四边形ABB₁A₁为正方形可得AB₁⊥A₁B，根据面面垂直的性质得出AB₁⊥平面A₁BC，故而AB₁⊥BC，结合BC⊥BB₁得出BC⊥平面ABB₁A₁，故而V${\;}_{{A}_{1}-MNC}$=V_B-MNC=V_M-BCN=V${\;}_{{B}_{1}-BCN}$=V${\;}_{C-{B}_{1}BM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}M}$•BC；
（2）由BC⊥平面ABB₁A₁可得BC⊥AB；
（3）（文）连结CM，则∠ACM为AC与平面A₁BC所成角；
（理）以B为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，则法向量的夹角（或补交）即为二面角的大小．

解答 解：（1）连结AB₁，∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AA₁=BC，
∴四边形ABB₁A₁，BB₁C₁C是正方形，
∴AB₁⊥A₁B，BC⊥BB₁，
又平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，平面A₁BC∩平面A₁ABB₁=A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，又BC?平面BB₁C₁C，
∴AB₁⊥BC，又BB₁?平面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，BB₁∩AB₁=B₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∵M为A₁B的中点，
∴V${\;}_{{A}_{1}-MNC}$=V_B-MNC=V_M-BCN=V${\;}_{{B}_{1}-BCN}$=V${\;}_{C-{B}_{1}BM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}M}$•BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×{2}^{2}×2$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）得BC⊥平面ABB₁A₁，又AB?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AB．
（3）（文科）连结CM．
由（1）可得AB₁⊥平面A₁BC，
∴∠ACM为AC与平面A₁BC所成角．
∵AB=BC=AA₁=2，
∴AM=$\frac{1}{2}A{B}_{1}$=$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠ACM=$\frac{AO}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴∠ACM=30°，即AC与平面A₁BC所成角为30°．
（理科）以B为原点，以BC，BB₁，BA为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则B（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），A₁（0，2，2），B₁（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，-2），
∵AB₁⊥平面A₁BC，∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，-2）是平面A₁BC的一个法向量，
设平面A₁AC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y-2z=0}\\{2x-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{-2}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞=120°，
∵锐二面角A-A₁C-B的大小为60°．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，空间角的计算及棱锥的体积计算，属于中档题．