Question

2．已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{n}+5，{a}_{n}为奇数}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}偶数}\end{array}\right.$，其中k为使a_n+1为奇数的正整数，当a₁=11时，a₂₀₁₆=98；若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p的值为1或5．

Answer 1

分析 由题设分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，故a₂₀₁₆=a₆=98，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，知a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=$\frac{3p+5}{{2}^{k}}$，再由数列{a_n}的各项均为正整数，能求出p．

解答 解：由题设知，a₁=11，
a₂=3×11+5=38，
a₃=$\frac{38}{2}$=19，
a₄=3×19+5=62，
a₅=$\frac{62}{2}$=31，
a₆=3×31+5=98，
a₇=$\frac{98}{2}$49，
a₈=3×49+5=152，
a₉=$\frac{152}{{2}^{3}}$=19，
∴{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，
a₂₀₁₆=a₆=98，
若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，
则a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=$\frac{3p+5}{{2}^{k}}$，
∴（3-2^k）p=-5，
∵数列{a_n}的各项均为正整数，
∴当k=2时，p=5，
当k=3时，p=1．
故答案为：98，1或5．

点评 题考查数列的递推公式的性质和应用，解题时分别求出a₁，a₂，a₃，…，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，借助数列的周期性进行求解，属于中档题．