Question

9．已知函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，2），如图所示，则$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$的最小值为3．

Answer 1

分析 本题考了指数函数的图象可知，a＞1；经过点P，则P点满足y=a^x+b．由基本不等式a+b≥$2\sqrt{ab}$，整体构造基本不等式即可得到答案．

解答 解：∵函数y=a^x+b（b＞0）的图象经过点P（1，2），
∴a+b=2⇒a-1+b=3⇒$\frac{a-1}{3}+\frac{b}{3}=1$，
则（$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$）×（$\frac{a-1}{3}+\frac{b}{3}$）=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+（\frac{4b}{3（a-1）}+\frac{a-1}{3b}）$
由基本不等式a+b≥$2\sqrt{ab}$，
∴$\frac{4b}{3（a-1）}+\frac{a-1}{3b}≥2\sqrt{\frac{4}{9}}$，当且仅当$\frac{b}{3（a-1）}=\frac{a-1}{3b}$，即a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴（$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$）×$\frac{a-1}{3}+\frac{b}{3}$=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+（\frac{4b}{3（a-1）}+\frac{a-1}{3b}）$≥3
所以：$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}{b}$的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了指数函数是增函数，a＞1．整体构造的思想，通过基本不等式得到答案．此题属于中档题，