Question

3．函数f（x）=x+ax²+blnx的图象在点P（1，0）处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）≤2x-2对任意正实数x恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数和斜率的关系以及函数值，列出方程组，即可求a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3ln x，求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后证明f（x）≤2x-2对任意正实数x恒成立．

解答 （1）解：由题设，y=f（x）在点P（1，0）处切线的斜率为2．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f'（1）=1+2a+b=2}\end{array}}\right.$，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}}\right.$（6分）
因此实数a，b的值分别为-1和3．
（2）证明：f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）．
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3ln x，
则g′（x）=-1-2x+$\frac{3}{x}$=-$\frac{（x-1）（2x+3）}{x}$．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在 （0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减．
∴g（x）在x=1处有最大值g（1）=0，
∴f（x）-（2x-2）≤0，即f（x）≤2x-2，得证．（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，利用导数研究函数切线及最值，考查转化思想以及计算能力．