Question

10．将20个相同的球全部放入编号为1，2，3的盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法共有120种．（用数字作答）

Answer 1

分析 根据题意，首先在20个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，将原问题转化为“将剩下的17个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里”，用挡板法分析：将17个球排成一列，排好后，有16个空位，在16个空位中任取2个，插入挡板，由组合数公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，先在20个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，
此时只需将剩下的17个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；
将17个球排成一列，排好后，有16个空位，
在16个空位中任取2个，插入挡板，有C₁₆²=120种方法，即有120种将17个球分为3组的方法，
将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，
则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有120种，
故答案为：120．

点评 本题考查排列、组合的运用，解答的关键在于将原问题转化为16个球的分组问题，用挡板法进行分析．