【题目】四位数和
互为反序的正整数,且
,
、
分别有16个、12个正因数(包括1和本身),
的质因数也是
的质因数,但
的质因数比
的质因数少1个,求
的所有可能值.
【答案】
【解析】
设,
.则
.
由,则
.
故,
,
.
于是,,
.
由为奇数,知
与
一奇一偶.
若为偶数,即
,则
,
为偶数.矛盾.
因此,为偶数,
为奇数.
记分解质因数后,
的个数为
,2的个数为
.则
,
.
由因数个数定理得.
于是 ,,
.
所以,或8,
或7.
故至多有三个质因数.
于是,至多含有两个质因数,3是
的一个质因数.
若只有一个质因数,则这个质因数为3.从而,
,与
是四位数相矛盾.
因此,含有两个质因数.
设的另一个质因数为
.
因为,所以,
或
或
.
故.
又,则
,
,即
.
由,知
.
此时,的值大于
.
当时,
.
而不互为反序数,于是,
.此时,
.
因此,.于是,
,
,
. ①
.
故.
因为为奇数,所以,
为奇数.故
.
由式①得
.
因为为偶数,所以,
为偶数.
于是,或8.
当时,由式①得
.
因为,所以,
.
得,
,
.
于是,或9.
当时,
;
当时,
.
于是,或1998.
因为,所以,
.
又,
符合题意.
因此,.
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【题目】已知分别是双曲线E:
的左、右焦点,P是双曲线上一点,
到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当
时,
的面积为
,求此双曲线的方程。
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【题目】近年来,国资委.党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:
土地使用面积 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理时间 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 | 不愿意参与管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
(1)求出相关系数的大小,并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关?
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求
的分布列及数学期望。
参考公式:
其中。临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考数据:
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【题目】中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数的一种方法.例如:3可表示为“
”,26可表示为“
”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用
这9数字表示两位数的个数为
A.13B.14C.15D.16
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【题目】已知圆,点
,点
是圆
上的一个动点,点
分别在线段
上,且满足
,
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点作斜率为
的直线
与点
的轨迹相交于
两点,在
轴上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不过原点的直线
与椭圆
相交于
两点,与直线
相交于点
,且
是线段
的中点,求
面积的最大值.
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【题目】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,1),B(-2,4),点P是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为___________________;若点Q为抛物线E:y2=4x上的动点,Q在直线x=-1上的射影为H,则
的最小值为___________.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,
,
,
,
,
(单位:克)中,经统计的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这组数据平均数;
(2)现按分层抽样从质量为,
的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率;
(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总计,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出以下两种收购方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收购;
方案②:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多.
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