Question

【题目】如图，已知AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．

（1）求证：∠CHG=∠ABC；
（2）求证：ABGD=ADHC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD、CF分别是△ABC三边的高，

∴AD⊥BC，CF⊥AB，

即有∠HDB=∠HFB=90°，

可得四点H，F，B，D共圆，

由圆内接四边形的性质可得，

∠CHG=∠ABC．

（2）证明：连结CG，

∵∠ABC与∠AGC同弧圆周角，

∴∠ABC=∠AGC，

∵∠CHG=∠ABC，

∴∠CHG=∠AGC，

∴GC=HC，

在Rt△ADB和Rt△GDC中，

∵∠ABC=∠AGC，即∠ABD=∠CGD，

∴Rt△ADB∽Rt△GDC，

∴ ，

∴ABGD=ADGC，

又∵GC=HC，

∴ABGD=ADHC．

【解析】（1）由三角形的高的定义，可得∠HDB=∠HFB=90°，则四点H，F，B，D共圆，由圆内接四边形的性质，即可得证；（2）连结CG，由同弧所对圆周角相等，证得Rt△ADB∽Rt△GDC，由相似三角形的性质：对应边成比例，即可得证．