Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，且n∈N₊），则

a 2 n +14

n

取最小值的n值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：把题目给出的数列递推式变形，得到

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），由累积法求出数列的通项公式，代入

a 2 n +14

n

后整理，利用基本不等式求最值．

解答： 解：由na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），
得：

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），
又a₁=1，
∴a_n=

n+1

n

•

n

n-1

•…•1=

n+1

2

，
∴

a 2 n +14

n

=

n

4

+

57

4n

+

1

2

≥2

57 16

+

1

2

，
∵n∈N₊，∴n=8时，

a 2 n +14

n

取最小值

105

32

．
故答案为：8．

点评：本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．