Question

已知向量

OA

=（3，-4），

OB

=（6，-3），

OC

=（5-m，-4-m）．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求向量

AC

的模．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的运算法则求出

AB

与

AC

，将构成三角形转化为三点不共线，利用向量共线的充要条件列出不等式求出m满足的条件．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出m，再根据向量模的定义求出模．

解答： 解：（1）∵

OA

=（3，-4），

OB

=（6，-3），

OC

=（5-m，-4-m），
∴

AB

=

OB

-

OA

=（3，1），

AC

=

OC

-

OA

=（2-m，-m）
若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即

AB

与

AC

不共线，
∴3（-m）≠2-m，
∴实数m≠-1时，满足条件．
（2）∵△ABC为直角三角形，且∠A为直角，
∴

AB

⊥

AC

，
∴

AB

•

AC

=0，
∴3（2-m）-m=0，
解得m=

3

2

，
∴

AC

=（

1

2

，-

3

2

）
∴|

AC

|=

10

2

点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线问题、三点不共线问题，属于中档题．