Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{{2}^{n}}$，且{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 讨论分析可得a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，n为奇数；即a_n+1-a_n=（-1）^n-1$\frac{1}{{2}^{n}}$，从而利用累加法求其通项公式．

解答 解：若a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，则数列{a_n}是递增数列，故不成立；
若a_n+1-a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，则数列{a_n}是递减数列，故不成立；
故a_n+1-a_n有正有负，
若a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
则a_n+2-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$＞0，
∵{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，n为奇数；
∴a_n+1-a_n=（-1）^n-1$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∵a₁=1，
a₂-a₁=$\frac{1}{2}$，
a₃-a₂=-$\frac{1}{4}$，
…
a_n-a_n-1=（-1）^n-2$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（-1）^n-2$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=1+$\frac{\frac{1}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1+\frac{1}{2}}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$$（-\frac{1}{2}）^{n}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及累加法的应用．