Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+x+3，其中a≠0，
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）已知a＞0，且f（x）在区间(0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围。

Answer 1

解：(1)由已知得，
令，得，
f（x）要取得极值，方程必须有解，
所以△，即，
此时方程的根为
，
所以，
当a＞0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值；
当a＜0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值；
综上，当a，b满足时，f（x）取得极值。
(2)要使f（x）在区间(0，1]上单调递增，需使在(0，1]上恒成立，
即恒成立，
所以，
设，
令(舍去)，
当a＞1时，，当时，单调增函数；
当单调减函数，
所以当时，g（x）取得最大，最大值为，所以，
当0＜a≤1时，，此时在区间(0，1]恒成立，
所以在区间(0，1]上单调递增，
当x=1时g（x）最大，最大值为，所以；
综上，当a＞1时，；当0＜a≤1时，。