Question

已知曲线C上任意一点到两定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为

|MO|

|MA|

=

1

2

，
（1）求曲线C的方程；
（2）过（0，2）点的直线l被曲线C截得的弦长为2

3

，求l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设M的坐标为（x，y），由题意动点M到定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为

|MO|

|MA|

=

1

2

，结合两点间的距离，化简整理得动点M轨迹C的方程；
（2）分类讨论，利用点N的直线l被曲线C截得的弦长为2

3

，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）设M的坐标为（x，y），由题意，
∵动点M到定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为

|MO|

|MA|

=

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

4

，
整理得x²+y²+2x-3=0；
（2）x²+y²+2x-3=0可化为（x+1）²+y²=4，
斜率不存在时，直线方程为x=0，y=±

3

，满足题意；
斜率存在时，设方程为y=kx+2，
∵过（0，2）点的直线l被曲线C截得的弦长为2

3

，
∴圆心到直线的距离为1，
∴

|-k+2|

k2+1

=1，
∴k=

3

4

，
∴直线l的方程为y=

3

4

x+2．
综上，直线l的方程为y=

3

4

x+2或x=0．

点评：本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．