Question

7．如图，直线y=kx分抛物线y=2x-x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k值．

Answer 1

分析 先求出直线与抛物线的交点坐标，根据直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得_{${∫}_{0}^{2-k}$[（2x-x2）-kx]dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{2}$（2x-x2）dx}，下面利用定积分的计算公式即可求得k值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=2x-{x}^{2}}\end{array}\right.$得 $\left\{\begin{array}{l}{x=2-k}\\{y=2k-{k}^{2}}\end{array}\right.$（0＜k＜2）．
由题设得${∫}_{0}^{2-k}$[（2x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx即${∫}_{0}^{2-k}[（$2x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$（ x2-$\frac{1}{3}$x3）|₀²=$\frac{2}{3}$
∴（x²-$\frac{1}{3}{x}^{3}$$-\frac{k}{2}{x}^{2}$）|₀^2-k=$\frac{2}{3}$，
（2-k）³=2
∴k=2-$\root{3}{2}$
故k的值为：$2-\root{3}{2}$．

点评 研究平面图形的面积的一般步骤是：（1）画草图；（2）解方程组，求出交点坐标；（3）确定被积函数及上、下限；（4）进行计算．