Question

2．已知函数$f（x）=\frac{x+a}{e^x}$（e为自然对数）在（0，f（0））处的切线方程为y=b．
（1）求a，b的值；
（2）设函数$g（x）=xf（x）+m{f^'}（x）+\frac{1}{e^x}$（m＞0），存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得2g（x₁）＜g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数得到$f′（x）=\frac{1-x-a}{{e}^{x}}$，从而根据切线斜率和函数在切点处导数的关系得出$f′（0）=\frac{1-a}{{e}^{0}}=0$，这样可求出a=1，从而求出切点坐标，代入切线方程即可求出b=1；
（2）容易求出$g（x）=\frac{{x}^{2}+（1-m）x+1}{{e}^{x}}$，进而求出$g′（x）=\frac{（x-1）（m-x）}{{e}^{x}}$，这样讨论m：0＜m＜1，和m≥1，根据导数符号便可求出每种情况下g（x）的最大、最小值，而由题意知2g（x）_min＜g（x）_max，这样即可分别建立关于m的不等式，解出m的范围再求并集即可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1-x-a}{{e}^{x}}$；
∵f（x）在（0，f（0））处切线斜率为0；
∴$f′（0）=\frac{1-a}{{e}^{0}}=0$；
∴a=1；
∴$f（0）=\frac{1}{{e}^{0}}=b=1$；
（2）$f（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}}，f′（x）=-\frac{x}{{e}^{x}}$；
∴$g（x）=\frac{{x}^{2}+x}{{e}^{x}}-\frac{mx}{{e}^{x}}+\frac{1}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+（1-m）x+1}{{e}^{x}}$，$g′（x）=\frac{-{x}^{2}+（1+m）x-m}{{e}^{x}}$=$\frac{（x-1）（m-x）}{{e}^{x}}$；
①若0＜m＜1，则：
0≤x＜m时，x-1＜0，m-x＞0，∴g′（x）＜0，m＜x≤1时，x-1≤0，m-x＜0，∴g′（x）≥0；
∴x=m时，g（x）取最小值$\frac{m+1}{{e}^{x}}$，x=1时，g（x）取最大值$\frac{3-m}{{e}^{x}}$；
∴根据题意，$\frac{2（m+1）}{{e}^{x}}＜\frac{3-m}{{e}^{x}}$；
∴2m+2＜3-m；
∴$0＜m＜\frac{1}{3}$；
②若m≥1，则x-1≤0，m-x≥0；
∴g′（x）≤0；
∴g（x）在[0，1]上单调递减；
∴g（x）在[0，1]上的最小值为g（1）=$\frac{3-m}{{e}^{x}}$，最大值为g（0）=$\frac{1}{{e}^{x}}$；
∴根据题意，$\frac{2（3-m）}{{e}^{x}}＜\frac{1}{{e}^{x}}$；
∴2（3-m）＜1；
∴$m＞\frac{5}{2}$；
综上得，实数m的取值范围为$（0，\frac{1}{3}）∪（\frac{5}{2}，+∞）$．

点评 考查商的导数的求法，函数在切点处导数和切线斜率的关系，切点在切线上，根据导数符号求函数在闭区间上最大、最小值的方法和过程．