Question

14．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，F分别是它的左顶点和右焦点，点B的坐标为（0，b），则cos∠ABF的值为$\frac{{\sqrt{7}}}{14}$．

Answer 1

分析 由离心率能够得出c=2a，b=$\sqrt{3}$a，再利用余弦定理，求出cos∠ABF．

解答 解：∵e=2，
∴c=2a，∴b=$\sqrt{3}$a，
∴△ABF中，|AB|=c=2a，|AF|=a+c=3a，|BF|=$\sqrt{7}$a，
∴cos∠ABF=$\frac{4{a}^{2}+7{a}^{2}-9{a}^{2}}{2•2a•\sqrt{7}a}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{14}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{7}}}{14}$．

点评 本题考查了双曲线的性质，由离心率能够得出c=2a，b=$\sqrt{3}$a是解题的关键，属于中档题．