Question

【题目】已知函数（、为常数）.若函数与的图象在处相切，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）设函数 ，若在上的最小值为，求实数的值;

（Ⅲ）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的图象在处相切，所以即，求出值，即可求得的解析式；

（Ⅱ）化简，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得是函数在上的极小值点，也就是它的最小值点，所以，从而可得结果；（Ⅲ）原不等式等价于恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，可得，故要使恒成立，只要即可.

试题解析：（Ⅰ）由已知得

函数的图象在处相切，

所以即，

解得，

故

（Ⅱ）得，

当时，，即在上为减函数；

当时，，即在上为增函数；

所以是函数在上的极小值点，也就是它的最小值点，

因此的最小值为

∴

（Ⅲ）在

上恒成立，即对，恒成立，

令，则，

再令，则

故在上是减函数，于是，

从而所以在上是增函数，，

故要恒成立，只要，

所以实数的取值范围为.