Question

【题目】已知椭圆x2＋＝1(0<b<1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C三点作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．

(1)若FC是圆P的直径，求椭圆的离心率；

(2)若圆P的圆心在直线x＋y＝0上，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】【试题分析】（1）根据椭圆的性质得出点的坐标，利用直径所对圆周角是直角，即.列方程解出的值，由此求得离心率.（2）求得直线和垂直平分线的方程，求得的值，代入直线方程可求得，由此解得的值并求出椭圆方程.

【试题解析】

　(1)由椭圆的方程知a＝1，

点B(0，b)，C(1,0)．设F的坐标为(－c,0)(c>0)，

∵FC是圆P的直径，

∴FB⊥BC，

∵kBC＝－b，kBF＝，

∴－b·＝－1，

∴b2＝c＝1－c2，c2＋c－1＝0，

解得c＝，∴椭圆的离心率e＝＝.

(2)∵圆P过F、B、C三点，

∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，

FC的垂直平分线方程为x＝，①

∵BC的中点为，kBC＝－b，

∴BC的垂直平分线方程为y－＝，②

由①②得x＝，y＝，

即m＝，n＝.

∵P(m，n)在直线x＋y＝0上，

∴＋＝0(1＋b)(b－c)＝0.

∵1＋b>0，

∴b＝c.

由b2＝1－c2得b2＝，

∴椭圆的方程为x2＋＝1.