【题目】已知
为坐标原点，椭圆
： 
的左焦点是
，离心率为
，且
上任意一点
到
的最短距离为
.
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线
（不过原点）与
交于两点
、
， 
为线段
的中点.
（i）证明：直线
与
的斜率乘积为定值；
（ii）求
面积的最大值及此时
的斜率.
【答案】（1）
；（2）（i）见解析；（ii）
面积的最大值是
，此时
的斜率为
.
【解析】试题分析：（1）由题设可以得到关于
的方程组为
，从而
，故
，所以椭圆
的方程为
.（2）设直线
为： 
， 
， 
， 
，联立直线的方程和椭圆的方程并消元后可以得到
，利用韦达定理得到
，故
，从而
为定值.利用弦长公式和点到直线的距离可得
，令
，从而
，最后利用基本不等式可以得到面积的最大值为
且此时
也就是
.
解析：（1）由题意得
，解得
，∴
， 
，∴椭圆
的方程为
.
（2）（i）设直线
为： 
， 
， 
， 
，由题意得
，
∴
，∴
，即
，由韦达定理得： 
， 
，∴
， 
，∴
，∴
，∴直线
与
的斜率乘积为定值.
（ii）由（i）可知： 
，又点
到直线
的距离
，
∴
的面积
，令
，则
，∴
，当且仅当
时等号成立，此时
，且满足
，∴
面积的最大值是
，此时
的斜率为
.
新编小学单元自测题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数(x)=xlnx,g(x)=ax3-
.
(Ⅰ)求函数(x)的单调递增区间和最小值；
(Ⅱ)若函数y= (x)与函数y =g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
（
、
为常数）.若函数
与
的图象在
处相切，
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设函数
，若
在
上的最小值为
，求实数
的值;
（Ⅲ）设函数
，若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设椭圆
： 
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
，且
.
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）若过
、
、
三点的圆恰好与直线
： 
相切，求椭圆
的方程；
（III）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
、
两点，在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出
的取值范围，如果不存在，说明理由
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 | 分组 | 人数(单位：人) |
第一组 | [20,25) | 2 |
第二组 | [25,30) | a |
第三组 | [30,35) | 5 |
第四组 | [35,40) | 4 |
第五组 | [40,45) | 3 |
第六组 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图；
(Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中，随机选取2人，求这2人的年龄都小于45岁的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设 
为椭圆 
上任一点，
，
为椭圆的焦点，
，离心率为 
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 
经过点 
，且与椭圆交于 ，
两点，若直线 
，
，
的斜率依次成等比数列，求直线 
的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=
log3（
），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数。
（3）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
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