Question

【题目】已知函数(x)=xlnx,g(x)=ax3-.

(Ⅰ)求函数(x)的单调递增区间和最小值；

(Ⅱ)若函数y= (x)与函数y =g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)a=.

【解析】试题分析：(Ⅰ)求出的导数，求得单调区间和极值，即可得最小值；(Ⅱ)设函数与函数的图象在交点处存在公共切线，则根据切线的斜率相等以及交点在两个函数的图象上可得，列出方程组，结合（Ⅰ），即可求出实数的值.

试题解析：(Ⅰ)∵

∴，

∴当时，；当时，.

∴函数在上单调递减,在上单调递增.

∴所求函数的单调递增区间为，最小值为.

(Ⅱ) 设函数与函数的图象在交点处存在公共切线，则根据切线的斜率相等以及交点在两个函数的图象上可得， 即(*),变形得.

∴，化简得

∴是方程的一个实数解.

又∵由(Ⅰ)易知方程有唯一的实数解，且该解为

∴，将之代入

∴