Question

【题目】设 为椭圆 上任一点，， 为椭圆的焦点，，离心率为 ．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线 经过点 ，且与椭圆交于 ， 两点，若直线 ，， 的斜率依次成等比数列，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 ．

【解析】试题分析：（1）由，，运用椭圆的定义可得，由离心率公式可得，再由的关系可得，从而得到椭圆方程；（2）由直线 经过点 ，可知，，设点 ，，由 消 ，得 ，利用韦达定理和等比中项的性质，化简整理可得的值，进而得到所求直线方程.

试题解析：（1） 由椭圆的定义可得 ，可得 ，

由 ，可得 ，，

则椭圆方程为 ；

（2） 由直线 经过点 ，可知，，

设点 ，，

由 消 ，得 ，

由直线与椭圆交于不同的两点，可得 ，解得 ，

由韦达定理得，，，

由题意知，，

即

所以 ，即 ，

即 ，即为 ，

所以直线 的方程为 或 ．