Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-，
（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1时取到极值，求实数a的值；
（Ⅱ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a＞1时，在曲线y=f（x）上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：，
（Ⅰ）∵函数f（x）在x=-1时取到极值，
∴，
经检验a=-2函数f（x）在x=-1时取到极小值，
∴实数a的值-2；
（Ⅱ）由，
①当，由，
由，
∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为；
②当，
同理可得函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为。
（Ⅲ）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则，
即，
∴，
又线段AB与x轴有公共点，
∴，
即，
又a＞1，
解得，
所以当时，存在满足要求的点A、B。