Question

6．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）若A，B为曲线C₁，C₂的公共点，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）若A，B分别为曲线C₁，C₂上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数α得曲线C₁的普通方程，将曲线C₂化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；
（Ⅱ）由C₁方程可知曲线是以C₁（1，0）为圆心，半径为1的圆，由C₂方程可知曲线是以C₂（0，2）为圆心，半径为2的圆，又|AB|≤|AC₁|+|C₁C₂|+|BC₂|，可知当|AB|取最大值时，圆心C₁，C₂在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线C₁C₂）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求．

解答 解：（Ⅰ）消去参数α得曲线C₁的普通方程C₁：x²+y²-2x=0．…（1）
将曲线C₂：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x²+y²-4y=0．…（2）
由（1）-（2）得4y-2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由C₁：（x-1）²+y²=1知曲线C₁是以C₁（1，0）为圆心，半径为1的圆，
由C₂：x²+（y-2）²=4知曲线C₂：是以C₂（0，2）为圆心，半径为2的圆．
∵|AB|≤|AC₁|+|C₁C₂|+|BC₂|，
∴当|AB|取最大值时，圆心C₁，C₂在直线AB上，
∴直线AB（即直线C₁C₂）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线AB的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
又此时|AB|=|C₁C₂|+1+2=3+$\sqrt{5}$，
∴△AOB的面积为$S=\frac{1}{2}•\frac{2}{5}\sqrt{5}•（3+\sqrt{5}）=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}+1$．

点评 本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．