Question

14．已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）求a的值及函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k-3）x在x≥3时恒成立，证明：k＜e³-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求a的值及函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k-3）x在x≥3时恒成立，利用参数分离法，求函数的最值即可证明：k＜e³-1．

解答 解：（Ⅰ）由题意知f′（x）=e^x-a，…1分，
∵A（0，1）且曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴，
∴f′（0）=e⁰-a=0，∴a=1…3分
此时，f′（x）=e^x-1．
令f′（x）=0得x=0．
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）=ex-x	单调递减	极小值1	单调递增

∴f（x）有极小值1，无极大值…5分
（Ⅱ）证明：由xf（x）＞3lnx+（k-3）x得$k＜f（x）-\frac{3lnx}{x}+3$…6分
令$g（x）=f（x）-\frac{3lnx}{x}+3（x≥3）$，$g（x）={e^x}-x-\frac{3lnx}{x}+3（x≥3）$…7分，
$g'（x）={e^x}-1-\frac{3（1-lnx）}{x^2}（x≥3）$…8分，
∵x≥3＞e，∴lnx＞lne=1．∴$-\frac{3（1-lnx）}{x^2}＞0$．
又∵e^x-1＞0，∴g'（x）＞0．
∴g（x）在[3，+∞）上为增函数…10分
∴$g{（x）_{min}}=g（3）={e^3}-3-\frac{3ln3}{3}+3={e^3}-ln3$…11分
∴k＜e³-ln3＜e³-1…12分．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数利用导数的几何意义先求出a的值，利用列表法求出函数单调性和极值是解决本题的关键．