Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a，b（a≤b），
有下列四个命题：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命题的个数是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=

f(x)

x

（x＞0）．利用导数和已知xf′（x）≤f（x），即可得出单调性，进而判断出．

解答： 解：∵xf′（x）≤f（x），
令g（x）=

f(x)

x

（x＞0）．
则g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

≤0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵0＜a≤b，
∴g（a）≥g（b），
∴

f(a)

a

≥

f(b)

b

，
即bf（a）≥af（b）．
只有④正确．
故答案为：1．

点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性的方法，考查了推理能力，属于中档题．